今天来给大家分享一下关于三角函数求值域（三角函数求值域的 *** ）的问题，以下是对此问题的归纳整理，让我们一起来看看吧。
三角函数求值域
三角函数是数学中常见的函数之一，常用于描述三角形的边角关系，在物理、工程、地质等领域具有广泛的应用。在求解三角函数时，需要确定其定义域与值域，本文将着重介绍三角函数的值域。
正弦函数的值域
正弦函数的定义域为全部实数，它的值域为[-1,1]。简单来说，它的函数图像在y轴的取值范围为[-1,1]，并且具有周期性。
那么如何证明正弦函数的值域为[-1,1]呢？
我们可以根据正弦函数的定义式sin(x) = (e^ix - e^-ix) / 2i，将x分为两种情况讨论。
当x为实数时，e^ix和e^-ix仍然是复数，仅当两个复数的虚部相等时它们的和才是实数。因此，sin(x)的虚部为(-e^-ix + e^ix) / 2i，即sin(x)为实数。
当x为纯虚数时，如ix，那么e^ix和e^-ix将分别是余弦函数和正弦函数，即cos(x) + i*sin(x)和cos(-x) + i*sin(-x)，由欧拉公式cos(x) = (e^ix + e^-ix) / 2可知，cos(x)的值域也是[-1,1]，因此，sin(x)的虚部为cos(-x)，也就是[-1,1]之间的实数。
余弦函数的值域
余弦函数也是定义在全体实数上的周期函数，其函数图像在y轴的取值范围为[-1,1]。
要证明函数f(x) = cos(x)的值域为[-1,1]，我们可以利用余弦函数的周期性和奇偶性进行简单的分析。
由于cos(x)是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，因此我们只需要考虑定义域[0, π/2]内的值域即可。同时，cos(x)也是周期函数，其最小正周期为2π，因此我们只需要研究表示一个周期内的函数值即可。
由于余弦函数是在单位圆上运动的点沿x轴的投影，因此其更大值为1（当点在正半轴上时），最小值为-1（当点在负半轴上时）。而当点沿y轴向上运动时，余弦函数的取值在[0,1]之间波动，因此，函数f(x) = cos(x)的值域为[-1,1]。
正切函数的值域
正切函数的定义域为{x | x ≠ (k+1/2)π, k∈Z}，即所有不是奇数个π/2的倍数的实数，其周期为π。但其值域却不是全体实数，而是(-∞, +∞)。
要证明正切函数的值域为(-∞, +∞)，我们可以考虑x趋近于π/2的情况，此时tan(x)的值趋近于正无穷大，再考虑x趋近于-π/2的情况，此时tan(x)的值趋近于负无穷大。因此，正切函数的值域为(-∞, +∞)，其在不连续点除外均为连续。
通过以上的证明，我们得到了三角函数的值域，即sin(x)的值域为[-1,1]，cos(x)的值域为[-1,1]，tan(x)的值域为(-∞, +∞)。这些结论在各种分析问题时都具有重要的应用。
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