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三角函数求值域例题
三角函数是数学中常用的一类函数,包括正弦函数、余弦函数、正切函数等,它们在物理、工程等领域中有着广泛的应用。在解决问题时,不仅需要求出函数的解析式,还需要了解其定义域和值域,本文将以求值域为例,介绍一些常见的例题。
例题一
已知函数$f(x)=\sin x$,求出其值域。
解题思路:
因为正弦函数的值域在$[-1,1]$之间,即$-1\leq\sin x\leq 1$,所以其值域为$[-1,1]$。
例题二
已知函数$f(x)=\cos x$,求出其值域。
解题思路:
因为余弦函数的值域在$[-1,1]$之间,即$-1\leq\cos x\leq 1$,所以其值域为$[-1,1]$。
例题三
已知函数$f(x)=\tan x$,求出其值域。
解题思路:
正切函数的值域是$(-\infty,+\infty)$,即$\tan x\in (-\infty,+\infty)$,但是要注意其定义域不能与其奇点重合,即$x\eq\frac{k\pi}{2},k\in Z$。因此其值域为$(-\infty,+\infty)-\{\tan(\frac{k\pi}{2}),k\in Z\}$。
例题四
已知函数$f(x)=2\sin x+\cos 2x$,求出其值域。
解题思路:
$2\sin x$的值域为$[-2,2]$,$\cos 2x$的值域为$[-1,1]$。因此,$f(x)$的值域的上界为$2+1=3$,下界为$-2-1=-3$。又因为$f(x)$是连续函数,根据介值定理,其值域应该包含在$[-3,3]$之间。综上所述,$f(x)$的值域为$[-3,3]$。
通过以上例题的解析,我们能够看到求解三角函数的值域不仅需要了解函数的定义域,还需要根据函数的性质进行分析,得到正确的结果。因此,我们在学习三角函数的过程中,不仅要掌握函数的解析式,更要注重对其定义域和值域的理解和熟练应用。
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